Successione geometrica: perché l’esponente è n − 1
Trova un termine con un fattore costante distinguendo posizione, moltiplicazioni e somma.
Metodo
Una successione geometrica moltiplica ogni termine per la stessa ragione. Una successione aritmetica aggiunge invece sempre la stessa differenza. Per verificare un andamento osservato, confronta più coppie consecutive di termini non nulli: un solo rapporto uguale non dimostra la regola per tutti i termini successivi.
Il primo termine occupa la posizione 1. Per arrivare alla posizione 2 serve una moltiplicazione; alla 3 ne servono due; alla n, n − 1. Il termine cercato è aₙ = a₁ × r^(n − 1), dove a₁ è il primo termine e r la ragione. Il valore iniziale è già dato: non moltiplicarlo prima di iniziare a contare.
- Primo terminea₁ = 7; r = 1.5
- Passaggi necessarin = 4 → n − 1 = 3
- Quarto termine7 × 1.5³ = 23.625
Trova un termine con un fattore costante distinguendo posizione, moltiplicazioni e somma.
Esempio svolto
Parti da 7 e moltiplica ogni volta per 1,5. I primi quattro termini sono 7, 10,5, 15,75 e 23,625. Il quarto è 7 × 1,5³ = 23,625. L’esponente 4 dà invece 35,4375, ossia il quinto termine. Il grafico mostra i valori separati, non una somma progressiva.
Nel calcolatore del termine geometrico, inserisci primo termine 7, ragione 1,5 e posizione 4. Verifica il risultato con tre moltiplicazioni. La somma dei primi quattro termini vale 56,875: è una quantità diversa che questo strumento non restituisce. Quando viene richiesto un termine, non sostituirlo con la somma o la media aritmetica.
aₙ = a₁ × r^(n − 1)
7 × 1.5³ = 23.625
7 + 10.5 + 15.75 + 23.625 = 56.875
- Termine 1
- 7
- Termine 2
- 10.5
- Termine 3
- 15.75
- Termine 4
- 23.625
Ogni barra è un termine individuale, non una somma progressiva.
Controlli e limiti
La posizione deve essere un intero positivo compreso nell’intervallo supportato. Ragione 1 lascia ogni termine uguale al primo; ragione 0 annulla i successivi. Una ragione negativa alterna i segni dei termini non nulli. I decimali visualizzati possono essere arrotondati e una ragione costante è un’ipotesi matematica, non una promessa di crescita futura reale.
Calcolatori correlati
Fonte: OpenStax