Superficie y volumen de una esfera: duplicar el radio tiene efectos distintos
Distingue unidades cuadradas y cúbicas, convierte el diámetro en radio y compara el crecimiento.
Método
El radio de una esfera va desde su centro hasta la superficie; el diámetro atraviesa el centro de un extremo al otro. Un diámetro de 4 cm significa, por tanto, un radio de 2 cm. La superficie mide la envoltura exterior en unidades cuadradas y el volumen mide el espacio encerrado en unidades cúbicas. Responden a preguntas distintas y no se pueden sumar.
Para una esfera completa, la superficie es 4π por el radio al cuadrado y el volumen es cuatro tercios de π por el radio al cubo. Mantén la misma unidad de longitud. Multiplicar el radio por k multiplica la superficie por k² y el volumen por k³. Duplicar el radio produce cuatro veces la superficie y ocho veces el volumen, no el doble de cada resultado.
- Obtener el radiod = 4 cm → r = 2 cm
- Calcular la superficieA = 4πr² → 16π cm²
- Calcular el volumenV = 4πr³/3 → (32π ÷ 3) cm³
Distingue unidades cuadradas y cúbicas, convierte el diámetro en radio y compara el crecimiento.
Ejemplo resuelto
Una esfera ideal de radio 2 cm tiene una superficie de 16π cm², aproximadamente 50,27 cm², y un volumen de 32π/3 cm³, aproximadamente 33,51 cm³. Con radio 4 cm, la superficie pasa a 64π cm², aproximadamente 201,06 cm², y el volumen a 256π/3 cm³, aproximadamente 268,08 cm³. Se comparan radios, no diámetros, y solo se redondean los resultados mostrados.
En la calculadora de volumen y superficie de esfera, introduce radio 2 y repite con 4. Aparece primero el volumen y después la superficie: conserva sus unidades cúbicas y cuadradas. Si mediste el diámetro, divídelo entre dos antes de introducirlo. Un círculo con el mismo radio da el área del disco central plano, que es un cuarto de la superficie total de la esfera.
r = 2 cm: A = 16π cm² ≈ 50.27 cm²; V = (32π ÷ 3) cm³ ≈ 33.51 cm³
r = 4 cm: A = 64π cm² ≈ 201.06 cm²; V = (256π ÷ 3) cm³ ≈ 268.08 cm³
r₂ ÷ r₁ = 2; A₂ ÷ A₁ = 4; V₂ ÷ V₁ = 8
- Factor del radio
- 2 ×2 cm → 4 cm
- Factor de la superficie
- 4 ×16π cm² → 64π cm²
- Factor del volumen
- 8 ×(32π ÷ 3) cm³ → (256π ÷ 3) cm³
El radio pasa de 2 cm a 4 cm. Cada barra compara una magnitud con su propio valor inicial; son factores sin dimensiones, no una mezcla de medidas de superficie y volumen.
Comprobaciones y límites
Las fórmulas suponen una esfera perfecta y completa. Medir el exterior de una pelota hueca describe su geometría exterior, no su capacidad interna; el grosor de la pared cambia el radio interior. Una semiesfera o un segmento cortado necesita otro cálculo de superficie. La incertidumbre de la medición sigue existiendo aunque se muestren más decimales. Comprueba la forma y la magnitud que necesitas antes de utilizar el resultado.
Calculadoras relacionadas
Fuente: OpenStax — Prealgebra 2e