Sucesión geométrica: por qué el exponente es n − 1

Método

Una sucesión geométrica multiplica cada término por la misma razón. Una sucesión aritmética, en cambio, suma siempre la misma diferencia. Para comprobar un patrón observado, compara varios pares consecutivos de términos no nulos: un único cociente coincidente no demuestra la regla para todos los términos posteriores.

El primer término ocupa la posición 1. Llegar a la posición 2 requiere una multiplicación; llegar a la 3, dos; y llegar a la n, n − 1. El término buscado es aₙ = a₁ × r^(n − 1), donde a₁ es el primero y r la razón. El valor inicial ya está dado: no lo multipliques antes de empezar a contar.

Ejemplo resuelto

Empieza con 7 y multiplica cada vez por 1,5. Los primeros cuatro términos son 7, 10,5, 15,75 y 23,625. El cuarto es 7 × 1,5³ = 23,625. Usar exponente 4 produce 35,4375, que es el quinto término. El gráfico muestra valores individuales, no una suma acumulada.

En la calculadora de término geométrico, introduce primer término 7, razón 1,5 y posición 4. Comprueba el resultado con tres multiplicaciones. Sumar los cuatro primeros términos da 56,875, otra cantidad que esta herramienta no devuelve. Si se pide un término, no lo sustituyas por la suma ni por la media aritmética.

⁦aₙ = a₁ × r^(n − 1)⁩

⁦7 × 1.5³ = 23.625⁩

⁦7 + 10.5 + 15.75 + 23.625 = 56.875⁩

Comprobaciones y límites

La posición debe ser un entero positivo dentro del rango admitido. Con razón 1 todos los términos conservan el valor inicial; con razón 0 los posteriores son cero. Una razón negativa alterna los signos de los términos no nulos. Los decimales mostrados pueden redondearse y la razón constante es una hipótesis matemática, no una garantía de crecimiento futuro real.

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Fuente: OpenStax