구의 겉넓이와 부피: 반지름을 두 배로 하면 달라지는 배율
제곱 단위와 세제곱 단위를 구분하고 지름을 반지름으로 바꿔 크기 변화를 비교합니다.
계산 방법
구의 반지름은 중심에서 표면까지의 거리이고, 지름은 중심을 지나 한쪽 끝에서 반대쪽 끝까지의 거리입니다. 따라서 지름이 4 cm이면 반지름은 2 cm입니다. 겉넓이는 바깥 표면의 넓이로 제곱 단위를 쓰고, 부피는 둘러싸인 공간의 크기로 세제곱 단위를 씁니다. 서로 다른 양이므로 두 결과를 더할 수 없습니다.
완전한 구의 겉넓이는 4π 곱하기 반지름의 제곱이며, 부피는 4π/3 곱하기 반지름의 세제곱입니다. 길이 단위는 일치시켜야 합니다. 반지름을 k배로 하면 겉넓이는 k²배, 부피는 k³배가 됩니다. 반지름을 두 배로 하면 겉넓이는 네 배, 부피는 여덟 배이며 둘 다 단순히 두 배가 되는 것은 아닙니다.
- 반지름 확인d = 4 cm → r = 2 cm
- 겉넓이 계산A = 4πr² → 16π cm²
- 부피 계산V = 4πr³/3 → (32π ÷ 3) cm³
제곱 단위와 세제곱 단위를 구분하고 지름을 반지름으로 바꿔 크기 변화를 비교합니다.
계산 예시
반지름이 2 cm인 이상적인 구의 겉넓이는 16π cm², 약 50.27 cm²이고 부피는 32π/3 cm³, 약 33.51 cm³입니다. 반지름 4 cm에서는 겉넓이가 64π cm², 약 201.06 cm²이며 부피는 256π/3 cm³, 약 268.08 cm³입니다. 이 예시는 지름이 아닌 반지름을 비교하며 표시할 답만 반올림합니다.
구의 부피와 겉넓이 계산기에 반지름 2를 입력한 뒤 4로 다시 계산하세요. 부피가 먼저, 겉넓이가 다음에 표시되므로 각각의 세제곱 단위와 제곱 단위를 확인해야 합니다. 지름을 측정했다면 입력 전에 둘로 나누세요. 같은 반지름의 원 계산 결과는 평평한 중앙 단면의 넓이로, 구 전체 겉넓이의 4분의 1입니다.
r = 2 cm: A = 16π cm² ≈ 50.27 cm²; V = (32π ÷ 3) cm³ ≈ 33.51 cm³
r = 4 cm: A = 64π cm² ≈ 201.06 cm²; V = (256π ÷ 3) cm³ ≈ 268.08 cm³
r₂ ÷ r₁ = 2; A₂ ÷ A₁ = 4; V₂ ÷ V₁ = 8
- 반지름 배율
- 2 ×2 cm → 4 cm
- 겉넓이 배율
- 4 ×16π cm² → 64π cm²
- 부피 배율
- 8 ×(32π ÷ 3) cm³ → (256π ÷ 3) cm³
반지름이 2 cm에서 4 cm로 변합니다. 각 막대는 해당 양을 그 양의 원래 값과 비교한 무차원 배율입니다. 넓이와 부피 측정값을 같은 단위로 혼합한 것이 아닙니다.
확인 사항과 한계
이 공식은 완전하고 이상적인 구를 가정합니다. 속이 빈 공의 바깥 치수는 외부 모양을 나타낼 뿐 사용 가능한 내부 용량과 같지 않습니다. 벽 두께에 따라 내부 반지름이 달라집니다. 반구나 잘라 낸 구의 일부는 다른 겉넓이 계산이 필요합니다. 표시 자릿수가 늘어도 측정 정확도가 높아지지 않으므로 모양과 필요한 양을 확인하세요.