مساحة الكرة وحجمها: مضاعفة نصف القطر تؤثر فيهما بشكل مختلف
ميّز الوحدات المربعة والمكعبة، وحوّل القطر إلى نصف قطر قبل مقارنة أحجام الكرات.
الطريقة
يمتد نصف قطر الكرة من مركزها إلى سطحها، أما القطر فيمر عبر المركز من طرف إلى الطرف الآخر. لذلك فإن قطرًا مقداره 4 سم يعني نصف قطر مقداره 2 سم. تقيس مساحة السطح الغلاف الخارجي بوحدات مربعة، بينما يقيس الحجم الحيز المحصور بوحدات مكعبة. يجيب القياسان عن سؤالين مختلفين، ولا يصح جمعهما معًا.
للكرة الكاملة، تساوي مساحة السطح 4π مضروبة في مربع نصف القطر، ويساوي الحجم أربعة أثلاث π مضروبة في مكعب نصف القطر. استخدم وحدة طول واحدة في الحساب. إذا ضُرب نصف القطر في عامل k، ضُربت المساحة في k² والحجم في k³. لذا تعطي مضاعفة نصف القطر مساحة أكبر بأربع مرات وحجمًا أكبر بثماني مرات، وليس ضعف كل منهما.
- تحديد نصف القطرd = 4 cm → r = 2 cm
- حساب مساحة السطحA = 4πr² → 16π cm²
- حساب الحجمV = 4πr³/3 → (32π ÷ 3) cm³
ميّز الوحدات المربعة والمكعبة، وحوّل القطر إلى نصف قطر قبل مقارنة أحجام الكرات.
مثال محلول
لكرة مثالية نصف قطرها 2 سم، تبلغ المساحة 16π سم²، أي نحو 50.27 سم²، والحجم 32π/3 سم³، أي نحو 33.51 سم³. عند نصف قطر 4 سم، تصبح المساحة 64π سم²، أي نحو 201.06 سم²، والحجم 256π/3 سم³، أي نحو 268.08 سم³. نقارن أنصاف الأقطار لا الأقطار، ولا نقرّب إلا النتائج المعروضة.
في حاسبة حجم الكرة ومساحة سطحها، أدخل نصف القطر 2 ثم أعد الحساب مع 4. يظهر الحجم أولًا ثم مساحة السطح؛ انتبه إلى الوحدات المكعبة والمربعة لكل نتيجة. إذا قست القطر، فاقسمه على اثنين قبل إدخاله. تعطي حاسبة الدائرة، عند نصف القطر نفسه، مساحة القرص المركزي المستوي التي تساوي ربع مساحة سطح الكرة كاملة.
r = 2 cm: A = 16π cm² ≈ 50.27 cm²; V = (32π ÷ 3) cm³ ≈ 33.51 cm³
r = 4 cm: A = 64π cm² ≈ 201.06 cm²; V = (256π ÷ 3) cm³ ≈ 268.08 cm³
r₂ ÷ r₁ = 2; A₂ ÷ A₁ = 4; V₂ ÷ V₁ = 8
- عامل نصف القطر
- 2 ×2 cm → 4 cm
- عامل مساحة السطح
- 4 ×16π cm² → 64π cm²
- عامل الحجم
- 8 ×(32π ÷ 3) cm³ → (256π ÷ 3) cm³
يتغير نصف القطر من 2 سم إلى 4 سم. يقارن كل عمود كمية بقيمتها الأصلية؛ الأرقام عوامل مضاعفة بلا أبعاد، وليست قياسات تجمع المساحة والحجم بوحدة واحدة.
الفحوص والحدود
تفترض هذه الصيغ كرة مثالية كاملة. يصف قياس كرة مجوفة من الخارج شكلها الخارجي، لا سعتها الداخلية القابلة للاستخدام؛ إذ تغير سماكة الجدار نصف القطر الداخلي. يحتاج نصف الكرة أو الجزء المقطوع منها إلى حساب مختلف لمساحة السطح. يبقى عدم اليقين في القياس مهما زادت المنازل العشرية المعروضة. تحقّق من الشكل والكمية المطلوبة قبل استخدام أي من النتيجتين.
حاسبات ذات صلة
المصدر: OpenStax — Prealgebra 2e