Suite géométrique : pourquoi l’exposant vaut n − 1

Méthode

Dans une suite géométrique, on multiplie chaque terme par la même raison. Une suite arithmétique ajoute au contraire la même différence. Pour vérifier une série observée, comparez plusieurs couples de termes consécutifs non nuls : un seul quotient identique ne prouve pas la règle pour tous les termes suivants.

Le premier terme occupe la position 1. Il faut une multiplication pour atteindre la position 2, deux pour la position 3 et n − 1 pour la position n. Le terme recherché est aₙ = a₁ × r^(n − 1), avec a₁ le premier terme et r la raison. Le premier terme est déjà connu ; ne le multipliez pas avant de commencer à compter.

Exemple détaillé

Partez de 7 et multipliez chaque fois par 1,5. Les quatre premiers termes sont 7, 10,5, 15,75 et 23,625. Le quatrième vaut 7 × 1,5³ = 23,625. Avec l’exposant 4, on obtient 35,4375, qui est le cinquième terme. Le graphique représente les termes séparément, pas leur total cumulé.

Dans le calculateur de terme géométrique, saisissez 7 comme premier terme, 1,5 comme raison et 4 comme rang. Vérifiez les trois multiplications. La somme des quatre termes est 56,875 : c’est une autre quantité, que cet outil ne renvoie pas. Si la question porte sur un terme, ne le remplacez ni par la somme ni par la moyenne arithmétique.

⁦aₙ = a₁ × r^(n − 1)⁩

⁦7 × 1.5³ = 23.625⁩

⁦7 + 10.5 + 15.75 + 23.625 = 56.875⁩

Vérifications et limites

Le rang doit être un entier positif compris dans les limites de l’outil. Une raison de 1 conserve le premier terme ; une raison de 0 annule les termes suivants. Une raison négative fait alterner les signes des termes non nuls. Les décimales affichées peuvent être arrondies et la raison constante est une hypothèse mathématique, pas une garantie de croissance réelle.

Calculateurs associés

• Terme d’une suite géométrique
• Suite arithmétique : terme et somme
• Calculatrice scientifique

Source: OpenStax