Geometrische Folge: warum der Exponent n − 1 lautet
Berechnen Sie einen Folgenterm mit konstantem Faktor und unterscheiden Sie Position, Multiplikationen und Summe.
Methode
Eine geometrische Folge multipliziert jeden Term mit demselben Faktor. Eine arithmetische Folge addiert dagegen stets dieselbe Differenz. Prüfen Sie bei beobachteten Werten mehrere Paare aufeinanderfolgender, von null verschiedener Terme: Ein passender Quotient allein beweist keine Regel für alle späteren Werte.
Der erste Term steht an Position 1. Für Position 2 ist eine Multiplikation nötig, für Position 3 sind es zwei und für Position n insgesamt n − 1. Der gesuchte Term lautet aₙ = a₁ × r^(n − 1), mit Anfangswert a₁ und Faktor r. Der Anfangswert ist bereits gegeben; multiplizieren Sie ihn nicht vor Beginn der Zählung.
- Erster Terma₁ = 7; r = 1.5
- Benötigte Schritten = 4 → n − 1 = 3
- Vierter Term7 × 1.5³ = 23.625
Berechnen Sie einen Folgenterm mit konstantem Faktor und unterscheiden Sie Position, Multiplikationen und Summe.
Rechenbeispiel
Beginnen Sie mit 7 und multiplizieren Sie jeweils mit 1,5. Die ersten vier Terme sind 7, 10,5, 15,75 und 23,625. Der vierte Term ist 7 × 1,5³ = 23,625. Exponent 4 ergibt stattdessen 35,4375, also den fünften Term. Das Diagramm zeigt einzelne Termwerte, keine fortlaufende Summe.
Geben Sie im Rechner für geometrische Folgenterme den Anfangswert 7, den Faktor 1,5 und die Termnummer 4 ein. Prüfen Sie das Ergebnis mit drei Multiplikationen. Die Summe der ersten vier Terme beträgt 56,875 und ist eine andere Größe, die dieser Rechner nicht ausgibt. Ersetzen Sie einen gesuchten Einzelterm nicht durch Summe oder arithmetisches Mittel.
aₙ = a₁ × r^(n − 1)
7 × 1.5³ = 23.625
7 + 10.5 + 15.75 + 23.625 = 56.875
- Term 1
- 7
- Term 2
- 10.5
- Term 3
- 15.75
- Term 4
- 23.625
Jeder Balken zeigt einen einzelnen Termwert, keine fortlaufende Summe.
Prüfungen und Grenzen
Die Termnummer muss eine positive ganze Zahl innerhalb des unterstützten Bereichs sein. Faktor 1 lässt alle Terme unverändert; Faktor 0 setzt spätere Terme auf null. Ein negativer Faktor wechselt die Vorzeichen von null verschiedenen Termen. Angezeigte Dezimalzahlen können gerundet sein. Ein konstanter Faktor ist eine mathematische Annahme, keine Zusage für reales künftiges Wachstum.
Verwandte Rechner
Quelle: OpenStax